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主要国家高中数学教材比较研究

 来源:全国教育科学规划领导小组办公室    发表时间:2016-03-30   阅读次数:2756   作者:王建磐

    华东师范大学数学系王建磐教授主持完成了国家社会科学基金“十一五”规划教育学重点课题“主要国家高中数学教材比较研究”(课题批准号:ADA100009)。课题组主要成员有:鲍建生、徐斌艳、汪晓勤、章建跃、邵光华、赵小平、李俊、陈月兰、叶立军、徐稼红、柳笛。 
    一、内容与方法
    (一)研究内容
    1. 对高中数学教材核心内容的组织与呈现方式的比较研究
    从世界各国高中数学教材的内容设置来看,高中数学的核心内容主要包括:代数、几何、概率统计、微积分、数学探究与建模活动。其中,前四块大多按照知识的结构体系展开,而第五块内容既渗透在前四块内容之中,也包含一些系列穿插在各块内容之间的综合活动,如美国Prentice Hall教材中的数学实验室(Math Lab),德国Klett出版社教材中的项目活动(Projekt)。这五块内容分别由五个子课题承担。
    2.对数学教学基本任务的教材设计的比较研究
    数学教学有三个基本任务:概念理解、技能习得与问题解决。虽然国际数学教育界都一致认为要实现这三个基本任务之间的平衡,但各国的具体处理仍有较大的差异。例如,研究表明,在数学概念的设计方面大体上有两种:陈述的(Stated)和探究的(Developed)。陈述的是指,由教师或者学生简单地提出,不作解释和推导。如,教师在黑板上解决问题时,提醒学生要用到勾股定理,这里的重点是信息本身,而不是信息的推导。探究的则是指教师,或者教师和学生一起去解释和推导概念,目的是增加学生对概念的理解。TIMSS的研究表明,美国、德国和日本的教材相比,概念更多的是陈述的,不需要学生自己探究和形成。这方面的研究主要有两个子课题负责,其中一个考察数学核心概念和技能在各国高中数学课程中的发展过程;另一个则聚焦例题和习题的设置,侧重于考察各国高中数学课程在问题解决方面的编制途径。
    3.对数学教材特征的比较研究
    数学教材一般有许多方面的特征,重点考察数学教材的难度特征,在大多数国家的学生眼里,数学是学校课程中最难学的科目之一,不同国家的数学课程在难度上也有着很大的差异。这种差异表现在许多方面,如数学问题的深度、复杂度;对数学外的知识的需求;解题的技巧性;数学推理的起点;数学问题的综合程度等等。一些初步的研究表明,中国初中教材在知识综合程度、推理水平及运算水平上远远高于英国的课程,而在应用背景和数学探究方面有所欠缺。
    数学教材的另一个重要特征是文化特征。一方面,从上世纪80年代以后,“民族数学”的概念对许多国家的数学课程产生了重要的影响。数学教材中的数学史和数学文化方面的元素也就成为学生传承传统文化的基本途径;另一方面,数学除了知识技能及应用以外,更重要的是她本身就是一种文化。从文化的高度来建设数学课程,有利于提高学生的数学素养。
    4.现代信息技术在数学教材中运用的比较研究
    随着计算机和网络的普及,数学教材与信息技术的整合已成为许多国家数学教材,特别是高中数学教材的普遍趋势。在许多国家的数学教材中,信息技术已经不单单是一种呈现的手段,也不仅仅是为了直观方便和激发兴趣,而已经成为数学探究(特别是数学建模)的重要工具和途径。从目前我国的几套高中数学新课程的情况看,信息技术与教材的整合程度有较大的差异,在研究界也有许多相关的争论。因此,通过这方面的国际比较,可以为我国的教材建设提高相关的借鉴。
    (二)研究方法
    本课题主要运用文献法、比较法、内容分析法、统计分析法、访谈法等。
    文献研究,主要就搜集的各国高中数学教材进行分析,从中发现比较各国高中数学教材的发展历史、实施情况以及未来趋势,揭示出不同历史时期直至新课程背景下数学教学的理念及其嬗变趋势
    比较研究法,根据一定分析理论框架标准,对所选取的高中数学教材进行比较研究,找出其普遍规律及其特殊本质,如呈现内容、呈现方式、知识结构、内容难度、例题习题容量等。
    内容分析法,是将各国高中数学教材根据内容领域,分割为一些相似的小单元,如代数、几何、概率统计、微积分等,根据TIMSS框架进行编码分析。
    统计分析法,利用统计学原理,将利用比较法得出的数据进行统计分析,找出各国高中数学教材在各方面的差异。
    访谈法:选取部分高中生、教师,对目前高中数学教材使用的现状进行访谈,倾听一线教师对数学课程标准及教材设计的意见或建议,为搭建合理的信息技术与数学课程整合平台提供翔实的依据,并提出有价值的高中数学教材修改建议。
    二、结论
    通过十个子课题相关的调查、研究与分析,得出以下结论:
    (一)教材特征外观方面
    美版、法版教材都相当精美,色彩艳丽,价格高昂。在排版上,美版字体较大,行距较宽,法国字体较小,版面紧凑。法国的知识内容辅以底色,便于学生明确基本知识;左侧空白,便于学生做笔记。亚洲中国、日本、新加坡相对朴实无华,色彩以黑白为主,页数较少,价格低廉。
    (二)教材体例设置方面
    中国教材章节结构比较有逻辑层次,大标题套小标题,知识是以“模块”的形式呈现;而德国和法国教材节的知识点很细小,缺乏较大标题的统领。此外,中国教材在章的末尾有“本章小结”,将本章的知识内容用“框图”形式呈现,并设有分层练习;德国教材则另命名“混合任务”,内设20多道题目,无分层。
我国及美国教材编写形式更加多样,在教材中编排了大量“思考与探究”、“观察与思考”、“信息技术应用”、“阅读与思考”等栏目,并且还有很多旁白标注,这样的体例设置可以更好的启发学生思考。
    (三)教材具体内容领域方面
    首先,从代数内容领域看,从教材知识点的广度、深度、复杂度和内部联系程度进行比较,发现中国教材对知识的挖掘程度更深,内部的联系也更加紧密,而日、美、英教材的知识广度更宽些。在概念建立方式上各国教材略有差异,中国和德国教材从问题情境出发建立概念,美国、英国和法国教材则从实际需求出发,虽缺少背景但胜在实用,日本教材则没有任何理由的直接给出概念。在原理呈现上,中国和日本教材不仅仅给出了原理的证明,同时也要求学生进行类似的证明来巩固知识,法国和德国教材仅仅给出了教材证明,美国和英国教材在证明方面要求较低。
    其次,从几何内容领域看,在几何内容分布上中国教材并不比其他国家少,但是就具体几何内容来说中国教材知识不及其他国家知识范围广。比如,空间几何图形部分,中国教材虽然有空间几何体、空间点线面的位置关系、立体图形画法等,但是没有涉及欧拉公式,且对于空间几何体的平面截面内容可以适当增添。解析几何部分,中国教材中有直线方程、圆的方程、二次曲线方程,但是都是直角坐标系下的方程,参数方程、极坐标方程、球面方程等应适当增添。此外,中国教材中图形变换内容没有具体的讲解,而是渗透与知识应用之中,但是法国图形变换内容则十分详细,利用向量及图形变换将各个几何知识串为整体,利于学生构建知识框架。
    第三,从概率统计内容领域看,各国教材在概率统计核心概念覆盖的主题差异较小,而主题在内容篇幅上的差异较大,说明在知识内容的选取上各套教材有较多类似的看法,比如主题“概率古典定义”、“线性回归”、“离散型随机变量的数学期望与方差”、“二项分布”、“正态分布”、“点估计”、“互斥事件和的概率”、“独立事件积的概率”、“条件概率”、“概率密度”都被普遍认为是高中概率统计需要涵盖的教学内容。样本教材中有五、六套教材都有,而中国教材没有的专题有“正态分布标准化”、“箱线图”、“中心极限定理”、“区间估计”、“大数定律”、“和事件的概率”。
    第四,从微积分内容领域看,关于微积分在高中数学课程中的权重各国差异较大。从各国教材统计数据来看,德国微积分内容比重较大,高达到41%,而我国人教版A版教材比重最小,只有7%。各国教材的具体内容和教材风格差异较大。其中日本、法国和俄罗斯教材涉及到的概念、方法、推理、应用都很丰满,内容结构和阐述方式比较严谨,适合数学的学科特点和高中生的学习习惯;德国教材的风格特点是比较重视思想方法的渗透和铺垫,但正文部分对知识的系统化、表述的严谨性不太讲究,较多依赖图像和教材的辅助栏目;新加坡教材比较重视微积分的工具性,对思想方法的阐述和知识间的关联体现的比较少,对图形计算器的依赖性比较强;我国教材的微积分内容少,要求低。各国微积分教材的极限内容都采用合适的方法对极限概念作了准确的描述。
    第五,从数学探究内容领域看,各国高中教材在数学探究内容的组织与呈现方式上各有特点。德国在组织和呈现数学探究内容时,力求为学生创设真实情景,通过开放式问题的设计,让学生学会整理、辨别、加工数学信息。另外,注重学生在数学解答过程中的反思、推测、解释等能力。我国人教版教材尽管在设计真实情景上比例上低于德国的教材,但是高于日本和英国的教材,在基于探究情景的开放式问题的设计上比例也较高。这表明,中国人教社的教材为学生创设了真实、开放的问题情景,让学生去观察、分析、推测数学事实。当然还需要设计更为丰富的数学活动,让学生有更多机会发展其创新意识和实践能力。日本数研社的教材在呈现数学探究内容方面力度还不大,但它的一个特点是,为学生组织丰富的数学阅读材料,或者供学生阅读,开拓视野,或者以问题驱动,激发学生从阅读材料中发现、提出并解决数学问题。英国教材则更关注培养学生的假设、推断和解释能力。美国教材注重发挥探究栏目在教材文本中的作用,即用于导入新单元知识,又注重以探究的方式归纳总结前面的知识。法国教材特别注重学生对信息技术的探究,或者利用信息技术探究数学。新加坡教材受新加坡问题解决思想的影响,很注重在设计探究内容时培养学生推测能力和解释能力。
    (四)教材的例题习题
    各国教材在 例题与知识点数量配置比例有差异,比如中国与德国教材的比例均保持在1:1左右,但例题小题数的配置数量相差甚大。各国教材在例题配置的类型、素材和基础性当面的差异明显。比如,德国教材的方法型例题最多,中国教材则注重应用型例题。此外,各国教材在例题的示范性和处理方式上也是共性与差异共存。各国教材的习题数量存在明显的差异。比如,在知识点保持相对一致的情况下,习题数量以大题统计时德国教材习题多于中国教材30多题,若按小题计算德国教材的习题数量则高出了中国教材习题数量的两倍多,其中中国教材练习题的数量比德国教材多,但是习题数量和复习题数量则是德国教材高出中国教材两、三倍。各国教材习题的类型、素材、层次存在共性与差异。
    (五)教材难度方面
    在教材的实际背景方面,各国高中数学教材在背景因素上的水平分布情况非常类似,属于“无背景”水平的例题占绝大部分。在数学认知层次上,各国数学教材都是领会水平的例题最多,概念水平的居次,最少的是计算和分析水平的例题。在推理水平上,除了美国和俄罗斯教材外,其余版本的高中数学教材的走势比较接近,都呈现倒勾型。人教版高中数学教材例题的推理水平在整体上虽然处于较高水平,但与法国教材相比,在“复杂推理”水平上仍有一定的差距。在简单符号运算水平上,我国教材的比例是最高的,但在复杂符号运算水平上,我国的两套教材处于中下游的水平。不同版本的高中数学教材在知识含量上形态迥异,总体而言,人教版、俄罗斯教材和法国教材在“两个知识点”和“三个以上的知识点”水平上处于较高的水平。从综合难度上看,除了美国教材和IB教材以外,其它教材的难度水平大体相当,而从难度特征上看,处于较高水平的还是传统的双基部分,即数学推理和符号运算,以及数学知识的综合程度;而在数学探究和现实应用方面,都有提高的余地。
    (六)教材中的数学文化
    在数学文化总量上,美国教材多达812个,人教版达到500多处,是法国教材的两倍左右。各国教材中数学文化的分布较类似,最多的都是数学与现实生活,而数学史、数学与科学技术、数学与人文艺术等数学文化内容都较少。数学文化在栏目分布方面,各国教材主要集中在习题部分,如人教版和法国版,习题中的数学文化数量都占了总数的50%以上。在数学史方面,各国教材都有一个显著的特点,就是大多将数学史内容设置在非正文部分,如人教版一般将数学史内容设置在阅读材料中,法国版教材多将数学史设置在章头。教材中的数学史内容大多数是数学家的简介、数学概念的介绍、数学家肖像等,运用层次也大多停留在点缀式或附加式等直接运用的方式。
    (七)教材中的信息技术
    各国高中数学教材技术运用的理念存在明显的差别。英美等国教科书中更多地使用图形计算器等手持技术,技术使用的主体是学生,呈现方式通常是融入式的;而我国人教版高中教材中技术运用更多的是为教师所设计和准备的,且多以专题的形式和以计算机为平台出现,技术运用的主体是教师。另外,我国高中数学教材技术运用没有为学生充分利用和开发网络资源。各国教材在技术运用的细节有差异。比如,英美等国教科书中对技术的具体使用有清晰细致的说明,以便学生自主操作。但我国人教版中不少技术的运用使用如“由计算机或计算器可以得到……”这样的语句,缺乏对学生实际使用技术的可操作性的指导,不利于学生自主使用技术。
    三、建议
   (一)教材特征外观方面  
    教材特征外观编制时,继承我国教材目前优点的情况下,可借鉴欧美国家,适当增加色彩,在丰富美感的同时,增加学生的吸引力。另一方面,版面设计可学习日本、德国的简洁明了。
   (二)教材体例设置方面
    教材体例结构编写时,可以适当设置能够让学生参与体验探索的活动。再次,教材章尾可以设置拓展内容。
   (三)教材具体内容领域方面
    首先,在代数内容上,教材编写方法可参考法国、德国的,形式上最好能与方程、不等式联合,这样便于学生将他们作为一个整体学习,而不至于脱节。矩阵建议可作为选修教材或阅读材料,希望能系统化,并说明与大学数学之间的联系。
    其次,在几何内容上,教材编写可适当设置能够让学生参与体验探索的活动。教材章尾可以设置拓展内容,例如中国教材节尾的阅读与思考栏目,法国教材节尾的拓展活动,不仅可以增加学生学习的兴趣,还可以拓展学生的视野,为各学科深入学习提供机会,使学生感受到数学的实用性,更好的培养学生自学能力。另外,德国教材给读者最大的印象是版面设计非常简洁明了,让学生一目了然学习的内容是什么。
    第三,在概率统计内容上,随着我国概率统计教育的发展,这些新内容的教学也会逐步走向深入。统计的应用性非常强,像“平均数与方差的无偏估计”、“中心极限定理”都是用样本估计总体以解决实际问题必须要知道的知识,我国教材目前还没有涉及它们,上述七个主题在未来修订我国课程标准时,应认真论证是否有进入的可能性。
    第四,在微积分内容上,通过与国外教材比较得出,我国对于将在理工科方向发展的高中学生,应该把微积分教学提升到更高水平。具体地说,将极限与连续函数的教学要求向六套教材中的较高水平靠拢,为后续内容的严谨阐述打好基础,也让学生真正体会到微积分的主要思想方法;在导数部分,建议掌握所有基本初等函数的导数、掌握复合函数、反函数、隐函数的求导方法;在积分部分,建议掌握基本积分公式、换元积分法和分部积分法,知道定积分的定义,会用微积分基本定理计算定积分;在应用方面,要掌握在数学领域内部的各种应用,也尽量多了解在其他领域的应用;并要将函数、极限、连续、微分、积分及其应用都有机地融会贯通起来。
    第五,在数学探究内容上,教材作为数学探究的重要资源,除了可考虑引人具有挑战性的项目活动的同时,也应强调实验活动的动手操作性、写作活动的价值性,同时结合具体教学的引导,如此才能防止数学探究活动流于形式,才能有利于促使学生真正投人到各种形式的探究活动中,使其在活动中不断提高数学学习兴趣、团队协作的能力、探索未知的能力以及知识应用能力。注意培养学生多种角度探究能力,可考虑在数学教材中结合设计结论开放和过程开放的数学探究问题。
   (四)教材的例题习题方面
    在教材的例题习题编制上,应遵循以下原则:例习题的取材要丰富有趣,源于生活,真实具体;例习题应包含丰富的启发思想;例题在编写过程中,应适当增加分析思路和思维过程的呈现;注意习题与例题的呼应,促进知识经验的迁移;适当增强符号化,培养数学建模思想;适当运用推理,注重提高学生的数学思维能力;注重数学实践发现过程,发展多维能力。
   (五)教材中的数学文化
    在教材编写时,应该增加数学史、数学与科学技术、数学与人文艺术等数学文化。对于我国教材来说,人文艺术亟需增加到教材中。应将各栏目的数学文化总量尽可能均衡,可借鉴法国教材的处理办法,法国教材在数学文化出现时会清晰地标注出来,如数学与物理、数学与音乐、数学与生活等等,这样师生可以一目了然。除了介绍数学家的生平外,照搬数学史上的学术史料,未作任何加工,这种原汁原味的数学史料显然难以引发学生的兴趣,教师在教学中也不易把握,容易出现“课后阅读”或者“跳过不读”的现象。应该加强对校园生活和娱乐生活的关注力度,此外应该尽可能增加一些学生易接触到或对他们今后生活有用的数学文化例子。
   (六)教材中的信息技术
    在教材编写时,应着重解决以下问题:技术运用的理念构成连续体的两极;教科书技术运用要体现本国的特色,建议高中数学教科书修订时,优先考虑将Z+Z作为技术运用的首选软件;技术运用落到实处需要突破“评价”这一瓶颈;技术运用的细节亟待丰富和完善;搭建合理的技术与数学课程整合的平台。
 

 

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